线性代数

矩阵

矩阵是一个向量集,描述一个线性变换

基础定义

$n$阶方阵:$n$行$n$列的矩阵

行向量:$1$行$n$列的矩阵

列向量:$n$行$1$列的矩阵

对角矩阵:除主对角线之外的元素全部为$0$的方阵

上三角矩阵:主对角线以下的元素全部为$0$的方阵

下三角矩阵:主对角线以上的元素全部为$0$的方阵

单位矩阵$I$:主对角线元素全部为$1$的对角矩阵

基础运算

  • 加减:对应元素相加减
  • 数乘:每个元素乘一个数
  • 转置:将矩阵的行列交换
  • 乘法:$A:m \times n​$ 矩阵,$B:n \times p​$ 矩阵,$C=AB:m \times p​$ 矩阵
    $C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$

    结合律:$(AB)C=A(BC)$
    左分配律:$(A+B)C=AC+BC$
    右分配律:$C(A+B)=CA+CB$
    不满足交换律

逆矩阵

对于矩阵$A$的逆$A^{-1}$,满足$AA^{-1}=A^{-1}A=I$

存在条件

求解

行列式

排列

对换:相邻两项交换

对换会使逆序对的个数改变1

$\delta(i_1i_2…i_n)=(-1)^{t}$

t是逆序对的个数,可以将排列分为奇排列和偶排列

对$n$阶方阵

$
\left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{matrix}
\right]
$ $=\sum\limits_{j_1…j_n}^{}(-1)^{r(j_1…j_n)}a_{1j_1}…a_{nj_n}$

其中$j_1…j_n$为n元排列
$r(j_1…j_n)$表示其中的逆序对个数

记作det(A)

性质

$\quad det(A)=det(A^T)$

这告诉我们行列式的行和列是平等的,行满足列也满足

交换矩阵的两行/两列,行列式值取反

将矩阵的一行/一列乘上一个固定的常数 k,行列式值也乘上 k

将矩阵的一行加到另外一行上去,行列式值不变,列同理。

一个对角矩阵/上三角矩阵的行列式值是所有对角线上元素的乘积

存在两行/列完全一样的矩阵,行列式值为 0

行列式的初等变换

计算—高斯消元

拉普拉斯展开

余子式

代数余子式

拉普拉斯公式

伴随矩阵

特征值与特征向量&特征多项式

Cayley–Hamilton 定理

特殊的矩阵

单位矩阵$E$

$
\left[
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\\
0 & 1 & 0 \\\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right]
$

若$AB=E$,则$A$、$B$互为逆矩阵

循环矩阵

$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\\
3 & 1 & 2 \\\
2 & 3 & 1
\end{matrix}
\right]
$

  1. 循环矩阵的线性运算及乘积仍是循环矩阵
  2. 满足乘法交换律:$AB=BA$
  3. 循环矩阵的逆仍是循环矩阵

线性方程组

利用矩阵,可以将以下线性方程组

$a_{11}x_1+a_{12}x_2+ … + a_{1n}x_n=b_1$

$a_{21}x_1+a_{22}x_2+ … + a_{2n}x_n=b_2$

$\vdots $

$a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+ … + a_{nn}x_n=b_n$

记作$Ax=b$

高斯消元

一般方程组

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void Gauss(){//A[i][n+1]:x->b的线性变换
for(int i=1;i<=n;i++){
int r=i;//列主元:提高数值稳定性
for(int j=i+1;j<=n;j++) if(fabs(a[r][i])<fabs(a[j][i])) r=j;
if(r!=i) for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[r][j]);//交换
for(int j=n+1;j>=i;j--)//逆序保证精度
for(int k=1;k<=n;k++) if(k!=i)
a[k][j]-=a[k][i]/a[i][i]*a[i][j];
}
for(int i=1;i<=n;i++) a[i][n+1]/=a[i][i];//回代
}

线性空间与线性基

异或方程组

一些地方简化了……

自由元

$n$个线性无关的向量,通过线性组合可以表示出线性空间内任意一个向量

模线性方程组

notes

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