数学分析

数列

等差数列

首项为$a_1$,公差为$d$

$a_n=a_1+(n-1)d$

等差数列求和公式

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

等比数列

首项为$a_1$,公比为$q$

$a_n=a_1q^{n-1}$

等比数列求和公式

$ S_n=\left\{
\begin{aligned}
na_1 \qquad q=1\\
\\
\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \qquad q \neq 1\\
\end{aligned}
\right.
$

无穷递降等比数列求和公式

若$|q|<1$,当$n→∞$时$q^n→0$

$S_n=\frac{a_1}{1-q}$

级数

级数是将数列的项依次用加号连接起来的函数

幂级数

无穷阶的多项式

$\sum\limits_{i=0}^{}a_ix^i$

形式幂级数

不讨论收敛性和取值的幂级数
它构成了一个环.

调和级数

$\sum\limits_{i=1}^{∞} \frac{1}{i}$

变形:$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{n}{i} \approx n \log n$

泰勒级数

1
泰勒级数是函数展开成有限项的幂级数

多项式逼近~~~

泰勒展开

拉格朗日余项

麦克劳林级数

talar的特殊情况

函数

非空数集之间的映射

函数的特性

记$f(x)$的定义域为$D$,$X \subset D$

有界性:对于$ \forall x \in X$,若均满足$|f(x)|\leq M(M>0)$,称$f(x)$在$X$上有界

单调性:对于$x \in X$,若$f(x)$随$x$的增大(减小)而增大(减小),称$f(x)$在$X$上单调

奇偶性:对于$\forall x \in D$,若均满足$f(x)=f(-x)$称$f(x)$为偶函数,若均满足
$f(x)=-f(-x)$称x为奇函数

周期性:

连续性:

凹凸性:

极限

导数与求导法则

简单应用

不定积分与定积分

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